ぽえの競プロノート

最終更新: 2026-05-14 問題へのリンク 問題概要 正方形内部に $N$ 個のランダムな点を置き、それらすべてを線分で結んだとき、正方形が分割された領域の個数の期待値を求めよ。 ・$N \le 10^9$ ★3.5 解説 $4 \le N$ の時、 $N$ 個の点と線分の交点の個数を合わせて $V$ とする。$V$ 個の点から $2$ つの点を選び出す方法であって、その二点を通る線が存在するものの数を $E$ とする。また、この線は $2$ 点の間にほかの点が存在し得ない（確率が $0$ ）ので、頂点数 $V$ 辺数 $E$ の平面グラフとなる。すなわち、面の個数はオイラーの定理より $E-V+2$ である。 また、はじめに結んだ $\dbinom{N}{2}$ 個の線分同士の交点の個数を $X$ とすると、 $V=N+X$ 、 $E=\dbinom{N}{2} + 2X$ が成り立つことが分かるので、求める答えは  $\mathbb{E}\left[\dbinom{N}{2} - N + 2 + X\right] = \dbinom{N}{2} - N + 2 + \mathbb{E}[X]$ であることが分かる。 $N$ 個の点から $4$ 点を取り出すことを考えると、その $4$ 点をそれぞれ線分で結んだ時、交点が $0$ 個または $1$ 個できる。 交点ができる配置(左)とできない配置(右) 交点ができる確率を $P$ とすると、　$\mathbb{E}[X] = \dbinom{N}{4}P$ が得られる。サンプル 1 より、 $P = \dfrac{25}{36}$ が得られるので、答えは $\dbinom{N}{2} - N + 2 + \dbinom{N}{4} \cdot \dfrac{25}{36}$ である。 ただ、これだと面白くないので別の方法で $P=\dfrac{25}{36}$ を示す。 面積が $1$ である正方形の内部でランダムに選んだ $3$ 点がなす三角形の面積を $S$ とする。 $4$ 点のうちから $1$ 点を選び、他の $3$ 点がなす三角形の内部にある確率を考えると、 $P = 1 - 4 \cdot \mathbb{E}[S]$ が分かる。...

問題へのリンク 問題概要 $N$ 個の長さ $M$ の数字のリールからなるスロットがあり、毎秒一つ以下のリールが止められる。 リールが示す数字をすべて等しくするためには最短何秒かかるか。 ・$N \le 100$ ・$M \le 10^5$ 600点 解説 この問題は、数字ごとに分けて解くことができる。文字種数を $\sigma$ とする。また、解の上界を考えると、示す数字をすべて等しくすることができるならば $NM$ 秒以下でできることが分かる。 これにより、数字 $k$ と正整数 $T (\le NM)$ に対して次のような問題が与えられる（線形計画緩和を用いた）。 $N$ 行 $T$ 列の行列 $v$ が与えられる。ただし、 $$ v_{i,j}= \begin{cases} 1 & (S_{i,j\%M}=k) \\ 0 & (S_{i,j\%M}\neq k) \end{cases} $$ である。 ・$\sum_{i}x_{i, j} \le 1$ ・$\sum_{j}x_{i, j} \le 1$ ・$0 \le x_{i, j}$ これらを満たす $N$ 行 $T$ 列の行列 $x$ に対して、 $\sum_{i}\sum_{j}x_{i, j}v_{i, j}$ を最大化せよ。 この線形計画問題の答えが $N$ ならば $T$ 秒以下で示す数字をすべて $k$ にすることができることが分かる。また、 $T$ に対して答えに単調性があるので、二分探索をすることで解が分かる。 この問題は次のようなグラフを考えることで、最大流問題として解くことができる。 例えば、$N=3, M=3, T=NM=9, v = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$ を考える。 v に対応するグラフ このようなグラフから、S からG への最大流を求めることになる。 しかし、これだと頂点数 $O(NM)$ 、辺数 $O(NM)$ になってしまう。頂点数 $V$ 辺数 $E$ の辺容量がすべて $1$ のグラフの最大流はDinic 法を用いることで $O(\sqrt{V}E)$...

作成日: 2026-05-13 最終更新: 2026-05-13 問題へのリンク 問題概要 $N$ 頂点の完全グラフから $M$ 辺を取り除いたとき、頂点 $1$ から頂点 $N$ への最短経路の個数を求めよ。 ・ $2 \le N \le 2 \times 10^5$ ・ $0 \le M \le \min(2 \times 10^5, \binom{N}{2})$ 575 点 解説 全頂点に対して頂点 $1$ からの最短距離が分かれば、距離が小さい順に最短経路の個数を決定できる。 頂点 $1$ からBFS をする。このとき、頂点から出ている辺をすべて見るのではなく、未訪問の頂点のうち、辺が存在するものに遷移すれば $O(N)$ 回の遷移で済む。 頂点 $1$ からの最短距離が分かれば、最短距離で頂点をソートして区間加算・一点取得を高速にできるデータ構造を用いて、最短距離が $k$ の頂点から最短距離が $k+1$ の頂点に遷移することで計算できる。加算をする区間は、取得する位置より後にあるので、いもす法を適用して $O(N+M)$ で計算できる。 全体の計算量は $O(M+ N \log{N})$ 。 サンプル $1$ サンプル $2$ (5/14 追記) ソートはバケットソートを用いることで $O(N)$ でできるため、全体の計算量は $O(N+M)$ にすることができる。 実装上の注意 出力する答えが $0$ の時に $-1$ を出力する実装にしていると、答えが $998244353$ の倍数の時にも $-1$ を出力してしまうので、距離の配列などを使って頂点 $N$ まで到達できるかどうかを判定しておくとよい。 AC コード 提出へのリンク #include <bits/stdc++.h> using namespace std; using ll = long long; #define rep(i, n) for (ll i=0; i<(ll)(n); i++) const ll mod = 998244353; const int inf = numeric_limits<int>::max()/2; const ll INF = numeric_lim...